КАФЕДРА УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
НАУЧНАЯ РАБОТА
В основе теории уравнений с частными производными лежат понятия параболических, гиперболических и эллиптических уравнений, типичными представителями которых являются уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнения Лапласа и Пуассона. Однако в начале прошлого века в приложениях стали возникать уравнения в частных производных, которые невозможно было отнести к какому-либо классу. В частности, выдающимся французским математиком А. Пуанкаре (1854 – 1912) была открыта система уравнений, не разрешенная относительно производных по времени. В дальнейшем уравнения и системы уравнений, не разрешенные относительно выделенной производной, появлялись в работах многих математиков и механиков (например, таковой является система уравнений Навье – Стокса, моделирующая динамику вязкой несжимаемой жидкости, в качестве типичного представителя которой можно взять обыкновенную водопроводную воду).
Систематическое изучение этих уравнений, которое было инициировано фундаментальными работами выдающегося российского математика С. Л. Соболева (1908 – 1989), началось в середине прошлого века. Тогда же возникла традиция называть уравнения и системы уравнений с частными производными, не разрешенные относительно выделенных производных, уравнениями соболевского типа. В настоящее время данные уравнения составляют обширную область неклассических уравнений математической физики, а исследования этих уравнений переживают пору бурного расцвета – только монографий, полностью или частично им посвященных, насчитывается более двух десятков, не говоря уже о тысячах оригинальных статей.
Первоначально исследование уравнений, не разрешенных относительно выделенной производной, велись в основном учениками С. Л. Соболева: Р. А. Александряном, А. Г. Костюченко и Г. А. Эскиным, Т. И. Зеленяком и многими другими. Их результаты инициировали работы В. Н. Врагова, А. И. Кожанова и С. Г. Пяткова по неклассическим уравнениям математической физики. В настоящее время исследования таких уравнений сосредоточено в нескольких математических школах как в России, так и за рубежом. К крупнейшим российским школам относятся иркутская во главе с Н. А. Сидоровым, Ю. Е. Бояринцевым, В. Ф. Чистяковым, екатеринбургская во главе с И. В. Мельниковой, новосибирская, ярчайшими представителями которой наряду с А. И. Кожановым и С. Г. Пятковым являются Г. В. Демиденко и С. В. Успенский и челябинская во главе с Г. А. Свиридюком и В. Е. Федоровым. За рубежом исследования ведутся в Болонье под руководством А. Фавини, в Осаке под руководством А. Яги и в Остине под руководством Р. Е. Шоуолтера.
Коллектив кафедры ведет активный научный поиск в области уравнений соболевского типа, целью которого является создание общей теории и разработка конкретных приложений. На этом направлении уже достигнуты определенные успехи – решены две важнейшие проблемы, поставленные еще первопроходцами. Это, во-первых, объяснение несуществования решения задачи Коши для уравнения соболевского типа при произвольных начальных данных пусть даже из плотного множества, а во-вторых, объяснение сильной неустойчивости решений этих уравнений. К работам прикладного характера следует отнести исследования задач оптимального управления и обратных задач, а также разработку численных методов решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, типичным представителем которых является модель Леонтьева межотраслевого баланса.
В 2007 г. на кафедре открыта аспирантура по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. В настоящее время в аспирантуре обучается один человек.
